פתור את (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

פתור עבור v

$$v=-1$$

$$v=7$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

החסר ‎2v^{2} משני האגפים.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

כנס את ‎v^{2} ו- ‎-2v^{2} כדי לקבל ‎-v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

החסר ‎2v משני האגפים.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

כנס את ‎8v ו- ‎-2v כדי לקבל ‎6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

החסר ‎9 משני האגפים.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

החסר את 9 מ- 16 כדי לקבל 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -v^{2}+av+bv+7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=7 b=-1$$

שכתב את ‎-v^{2}+6v+7 כ- ‎\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -v בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף v-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את v-7=0 ו- -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

החסר ‎2v^{2} משני האגפים.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

כנס את ‎v^{2} ו- ‎-2v^{2} כדי לקבל ‎-v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

החסר ‎2v משני האגפים.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

כנס את ‎8v ו- ‎-2v כדי לקבל ‎6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

החסר ‎9 משני האגפים.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

החסר את 9 מ- 16 כדי לקבל 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 6 במקום b, וב- 7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

‎6 בריבוע.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-6±8}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎-2.

$$v=-1$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-6±8}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8 מ- ‎-6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

חלק את ‎-14 ב- ‎-2.

$$v=7$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$v=-1 v=7$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

החסר ‎2v^{2} משני האגפים.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

כנס את ‎v^{2} ו- ‎-2v^{2} כדי לקבל ‎-v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

החסר ‎2v משני האגפים.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

כנס את ‎8v ו- ‎-2v כדי לקבל ‎6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

החסר ‎16 משני האגפים.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

החסר את 16 מ- 9 כדי לקבל -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

חלק את ‎6 ב- ‎-1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

חלק את ‎-7 ב- ‎-1.

$$v^{2}-6v=7$$

חלק את ‎-6, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-3. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -3 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

‎-3 בריבוע.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

הוסף את ‎7 ל- ‎9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

פרק את ‎v^{2}-6v+9 לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

פשט.

$$v-3=4 v-3=-4$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$v=7 v=-1$$