פתור את (m-1)^2+3(m-5)^2=16

$$( m - 1 ) ^ { 2 } + 3 ( m - 5 ) ^ { 2 } = 16$$

פתור עבור m

$$m=3$$

$$m=5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(m-1\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m-5\right)^{2}=16$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(m-5\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m^{2}-10m+25\right)=16$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- m^{2}-10m+25.

$$m^{2}-2m+1+3m^{2}-30m+75=16$$

כנס את ‎m^{2} ו- ‎3m^{2} כדי לקבל ‎4m^{2}.

$$4m^{2}-2m+1-30m+75=16$$

כנס את ‎-2m ו- ‎-30m כדי לקבל ‎-32m.

$$4m^{2}-32m+1+75=16$$

חבר את ‎1 ו- ‎75 כדי לקבל ‎76.

$$4m^{2}-32m+76=16$$

החסר ‎16 משני האגפים.

$$4m^{2}-32m+76-16=0$$

החסר את 16 מ- 76 כדי לקבל 60.

$$4m^{2}-32m+60=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$m^{2}-8m+15=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- m^{2}+am+bm+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-5 b=-3$$

שכתב את ‎m^{2}-8m+15 כ- ‎\left(m^{2}-5m\right)+\left(-3m+15\right).

$$\left(m^{2}-5m\right)+\left(-3m+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף m בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$m\left(m-5\right)-3\left(m-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף m-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(m-5\right)\left(m-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את m-5=0 ו- m-3=0.

$$m=5 m=3$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(m-1\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m-5\right)^{2}=16$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(m-5\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m^{2}-10m+25\right)=16$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- m^{2}-10m+25.

$$m^{2}-2m+1+3m^{2}-30m+75=16$$

כנס את ‎m^{2} ו- ‎3m^{2} כדי לקבל ‎4m^{2}.

$$4m^{2}-2m+1-30m+75=16$$

כנס את ‎-2m ו- ‎-30m כדי לקבל ‎-32m.

$$4m^{2}-32m+1+75=16$$

חבר את ‎1 ו- ‎75 כדי לקבל ‎76.

$$4m^{2}-32m+76=16$$

החסר ‎16 משני האגפים.

$$4m^{2}-32m+76-16=0$$

החסר את 16 מ- 76 כדי לקבל 60.

$$4m^{2}-32m+60=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -32 במקום b, וב- 60 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

‎-32 בריבוע.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 4\times 60}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-16\times 60}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎60.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-960}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎-960.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 64.

$$m=\frac{-\left(-32\right)±8}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-32 הוא ‎32.

$$m=\frac{32±8}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$m=\frac{32±8}{8}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{32±8}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎32 ל- ‎8.

$$m=\frac{40}{8}$$

חלק את ‎40 ב- ‎8.

$$m=5$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{32±8}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8 מ- ‎32.

$$m=\frac{24}{8}$$

חלק את ‎24 ב- ‎8.

$$m=3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$m=5 m=3$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(m-1\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m-5\right)^{2}=16$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(m-5\right)^{2}.

$$m^{2}-2m+1+3\left(m^{2}-10m+25\right)=16$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- m^{2}-10m+25.

$$m^{2}-2m+1+3m^{2}-30m+75=16$$

כנס את ‎m^{2} ו- ‎3m^{2} כדי לקבל ‎4m^{2}.

$$4m^{2}-2m+1-30m+75=16$$

כנס את ‎-2m ו- ‎-30m כדי לקבל ‎-32m.

$$4m^{2}-32m+1+75=16$$

חבר את ‎1 ו- ‎75 כדי לקבל ‎76.

$$4m^{2}-32m+76=16$$

החסר ‎76 משני האגפים.

$$4m^{2}-32m=16-76$$

החסר את 76 מ- 16 כדי לקבל -60.

$$4m^{2}-32m=-60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4m^{2}-32m}{4}=-\frac{60}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$m^{2}+\left(-\frac{32}{4}\right)m=-\frac{60}{4}$$

חלק את ‎-32 ב- ‎4.

$$m^{2}-8m=-\frac{60}{4}$$

חלק את ‎-60 ב- ‎4.

$$m^{2}-8m=-15$$

חלק את ‎-8, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-4. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -4 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$m^{2}-8m+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

‎-4 בריבוע.

$$m^{2}-8m+16=-15+16$$

הוסף את ‎-15 ל- ‎16.

$$m^{2}-8m+16=1$$

פרק m^{2}-8m+16 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-4\right)^{2}=1$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(m-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

פשט.

$$m-4=1 m-4=-1$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$m=5 m=3$$