פתור את (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

חבר את ‎81 ו- ‎162 כדי לקבל ‎243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

כנס את ‎-90x ו- ‎-180x כדי לקבל ‎-270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

כנס את ‎25x^{2} ו- ‎50x^{2} כדי לקבל ‎75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

החסר את 24 מ- 243 כדי לקבל 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎75 ב- a, את ‎-270 ב- b ואת ‎219 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} ו- ‎x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} הוא חיובי ו- ‎x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} הוא שלילי.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} הוא חיובי ו- ‎x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} הוא שלילי.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$