פתור את (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

שקול את \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎1 בריבוע.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

פיתוח ‎\left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎4x^{2}-1, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

כנס את ‎25x^{2} ו- ‎-4x^{2} כדי לקבל ‎21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

חבר את ‎4 ו- ‎1 כדי לקבל ‎5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

החסר ‎47 משני האגפים.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

החסר את 47 מ- 5 כדי לקבל -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

החסר ‎x משני האגפים.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

כנס את ‎-20x ו- ‎-x כדי לקבל ‎-21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎21.

$$x^{2}-x-2=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-2 b=1$$

שכתב את ‎x^{2}-x-2 כ- ‎\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-2=0 ו- x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

שקול את \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎1 בריבוע.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

פיתוח ‎\left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎4x^{2}-1, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

כנס את ‎25x^{2} ו- ‎-4x^{2} כדי לקבל ‎21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

חבר את ‎4 ו- ‎1 כדי לקבל ‎5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

החסר ‎47 משני האגפים.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

החסר את 47 מ- 5 כדי לקבל -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

החסר ‎x משני האגפים.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

כנס את ‎-20x ו- ‎-x כדי לקבל ‎-21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 21 במקום a, ב- -21 במקום b, וב- -42 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

‎-21 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-84 ב- ‎-42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

הוסף את ‎441 ל- ‎3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

הוצא את השורש הריבועי של 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

ההופכי של ‎-21 הוא ‎21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{21±63}{42} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎21 ל- ‎63.

$$x=\frac{84}{42}$$

חלק את ‎84 ב- ‎42.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{21±63}{42} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎63 מ- ‎21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

חלק את ‎-42 ב- ‎42.

$$x=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=2 x=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

שקול את \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎1 בריבוע.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

פיתוח ‎\left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎4x^{2}-1, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

כנס את ‎25x^{2} ו- ‎-4x^{2} כדי לקבל ‎21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

חבר את ‎4 ו- ‎1 כדי לקבל ‎5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

החסר ‎x משני האגפים.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

כנס את ‎-20x ו- ‎-x כדי לקבל ‎-21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

החסר ‎5 משני האגפים.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

החסר את 5 מ- 47 כדי לקבל 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

חילוק ב- ‎21 מבטל את ההכפלה ב- ‎21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

חלק את ‎-21 ב- ‎21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

חלק את ‎42 ב- ‎21.

$$x^{2}-x=2$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎2 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=2 x=-1$$