פתור את (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

פתור עבור x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3x-5 ב- x+2 ולכנס איברים דומים.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

כנס את ‎3x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎1 ב- b ואת ‎-10 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-1±9}{4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎x-2 ו- ‎x+\frac{5}{2} צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו x-2\geq 0 ו- x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו x-2\leq 0 ו- x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$