פתור את (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎x^{2}+6x+9, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

כנס את ‎9x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

כנס את ‎-24x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎-30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

החסר את 9 מ- 16 כדי לקבל 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 8x^{2}+ax+bx+7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -30.

$$a=-28 b=-2$$

שכתב את ‎8x^{2}-30x+7 כ- ‎\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-7=0 ו- 4x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎x^{2}+6x+9, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

כנס את ‎9x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

כנס את ‎-24x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎-30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

החסר את 9 מ- 16 כדי לקבל 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 8 במקום a, ב- -30 במקום b, וב- 7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

‎-30 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎900 ל- ‎-224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

ההופכי של ‎-30 הוא ‎30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{30±26}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎30 ל- ‎26.

$$x=\frac{56}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{56}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{30±26}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎30.

$$x=\frac{4}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎x^{2}+6x+9, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

כנס את ‎9x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

כנס את ‎-24x ו- ‎-6x כדי לקבל ‎-30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

החסר את 9 מ- 16 כדי לקבל 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

החסר ‎7 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$8x^{2}-30x=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

חילוק ב- ‎8 מבטל את ההכפלה ב- ‎8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

חלק את ‎-\frac{15}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{15}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{15}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{15}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{8} ל- ‎\frac{225}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

פרק x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

פשט.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

הוסף ‎\frac{15}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$