פתור את (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

פרק לגורמים

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

שלבי פתרון

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-10x^{2}+51x+22$$

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -10x^{2}+ax+bx+22. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 51.

$$a=55 b=-4$$

שכתב את ‎-10x^{2}+51x+22 כ- ‎\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -5x בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-11 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

‎51 בריבוע.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

הכפל את ‎40 ב- ‎22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

הוסף את ‎2601 ל- ‎880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-51±59}{-20} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-51 ל- ‎59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{-20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-51±59}{-20} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎59 מ- ‎-51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-110}{-20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{2}{5} במקום x_{1} וב- ‎\frac{11}{2} במקום x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

החסר את x מ- \frac{11}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

הכפל את ‎\frac{-5x-2}{-5} ב- ‎\frac{-2x+11}{-2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎10 ב- ‎-10 ו- ‎10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

הערך

$$22+51x-10x^{2}$$