פתור את (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎9x^{2}-12x+4, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

כנס את ‎-9x^{2} ו- ‎-40x^{2} כדי לקבל ‎-49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

הוסף ‎205 משני הצדדים.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

חבר את ‎-4 ו- ‎205 כדי לקבל ‎201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5x ב- 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -35x+15x^{2} ב- 7+3x ולכנס איברים דומים.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

כנס את ‎16x ו- ‎-245x כדי לקבל ‎-229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

כנס את ‎4x^{2} ו- ‎-49x^{2} כדי לקבל ‎-45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

כנס את ‎-229x ו- ‎12x כדי לקבל ‎-217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

חבר את ‎16 ו- ‎201 כדי לקבל ‎217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

סדר מחדש את המשוואה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 217 ו- q מחלק את המקדם המוביל 45. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎45x^{3}-45x^{2}-217x+217 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎45x^{2}-217. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$45x^{2}-217=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎45 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎-217 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

פתור את המשוואה ‎45x^{2}-217=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$