פתור את (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

פתור עבור x

$$x=-7$$

$$x=4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x+3 ב- x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-4 ב- x+40 ולכנס איברים דומים.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

כנס את ‎3x^{2} ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

כנס את ‎-32x ו- ‎36x כדי לקבל ‎4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

החסר את 160 מ- -48 כדי לקבל -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x-8 ב- x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

החסר ‎2x^{3} משני האגפים.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

כנס את ‎2x^{3} ו- ‎-2x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

הוסף ‎32x משני הצדדים.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

כנס את ‎4x ו- ‎32x כדי לקבל ‎36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

הוסף ‎8x^{2} משני הצדדים.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

כנס את ‎4x^{2} ו- ‎8x^{2} כדי לקבל ‎12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

החסר ‎128 משני האגפים.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

החסר את 128 מ- -208 כדי לקבל -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$x^{2}+3x-28=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-28. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$a=-4 b=7$$

שכתב את ‎x^{2}+3x-28 כ- ‎\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-4=0 ו- x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x+3 ב- x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-4 ב- x+40 ולכנס איברים דומים.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

כנס את ‎3x^{2} ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

כנס את ‎-32x ו- ‎36x כדי לקבל ‎4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

החסר את 160 מ- -48 כדי לקבל -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x-8 ב- x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

החסר ‎2x^{3} משני האגפים.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

כנס את ‎2x^{3} ו- ‎-2x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

הוסף ‎32x משני הצדדים.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

כנס את ‎4x ו- ‎32x כדי לקבל ‎36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

הוסף ‎8x^{2} משני הצדדים.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

כנס את ‎4x^{2} ו- ‎8x^{2} כדי לקבל ‎12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

החסר ‎128 משני האגפים.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

החסר את 128 מ- -208 כדי לקבל -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 12 במקום a, ב- 36 במקום b, וב- -336 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

‎36 בריבוע.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎-336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎1296 ל- ‎16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-36±132}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-36 ל- ‎132.

$$x=\frac{96}{24}$$

חלק את ‎96 ב- ‎24.

$$x=4$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-36±132}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎132 מ- ‎-36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

חלק את ‎-168 ב- ‎24.

$$x=-7$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=4 x=-7$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x+3 ב- x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x-4 ב- x+40 ולכנס איברים דומים.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

כנס את ‎3x^{2} ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

כנס את ‎-32x ו- ‎36x כדי לקבל ‎4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

החסר את 160 מ- -48 כדי לקבל -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2x-8 ב- x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

החסר ‎2x^{3} משני האגפים.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

כנס את ‎2x^{3} ו- ‎-2x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

הוסף ‎32x משני הצדדים.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

כנס את ‎4x ו- ‎32x כדי לקבל ‎36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

הוסף ‎8x^{2} משני הצדדים.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

כנס את ‎4x^{2} ו- ‎8x^{2} כדי לקבל ‎12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

הוסף ‎208 משני הצדדים.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

חבר את ‎128 ו- ‎208 כדי לקבל ‎336.

$$36x+12x^{2}=336$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

חילוק ב- ‎12 מבטל את ההכפלה ב- ‎12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

חלק את ‎36 ב- ‎12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

חלק את ‎336 ב- ‎12.

$$x^{2}+3x=28$$

חלק את ‎3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎28 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

פרק x^{2}+3x+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=4 x=-7$$