פתור את (2)3/sin^{220^{circ}}-1/cos^220^circ+64sin^220^circ

$$( 2 ) \frac { 3 } { \sin ^ { 2 } 20 ^ { \circ } } - \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } 20 ^ { \circ } } + 64 \sin ^ { 2 } 20 ^ { \circ }$$

הערך

$$\frac{5814915970713618737501269924237505759233698368644990171879009323293911055544430132267890353801}{100873025187142275331828089915402656395452085573963047905781764062500000000000000000000000000}\approx 57.645896511$$

שלבי פתרון

Evaluate trigonometric functions in the problem

$${(2)} \frac{3}{0.3420201433256687 ^ {2}} - \frac{1}{0.9396926207859084 ^ {2}} + 64 \cdot 0.3420201433256687 ^ {2}$$

חשב את 0.3420201433256687 בחזקת 2 וקבל 0.11697777844051095979530830215969.

$$2\times \frac{3}{0.11697777844051095979530830215969}-\frac{1}{0.9396926207859084^{2}}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

הרחב את ‎\frac{3}{0.11697777844051095979530830215969} על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- 100000000000000000000000000000000.

$$2\times \frac{300000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969}-\frac{1}{0.9396926207859084^{2}}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

בטא את ‎2\times \frac{300000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969} כשבר אחד.

$$\frac{2\times 300000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969}-\frac{1}{0.9396926207859084^{2}}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

הכפל את ‎2 ו- ‎300000000000000000000000000000000 כדי לקבל ‎600000000000000000000000000000000.

$$\frac{600000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969}-\frac{1}{0.9396926207859084^{2}}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

חשב את 0.9396926207859084 בחזקת 2 וקבל 0.88302222155948904756966801319056.

$$\frac{600000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969}-\frac{1}{0.88302222155948904756966801319056}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

הרחב את ‎\frac{1}{0.88302222155948904756966801319056} על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- 100000000000000000000000000000000.

$$\frac{600000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969}-\frac{100000000000000000000000000000000}{88302222155948904756966801319056}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

צמצם את השבר ‎\frac{100000000000000000000000000000000}{88302222155948904756966801319056} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$\frac{600000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969}-\frac{6250000000000000000000000000000}{5518888884746806547310425082441}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎11697777844051095979530830215969 ו- ‎5518888884746806547310425082441 היא 64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329. המר את ‎\frac{600000000000000000000000000000000}{11697777844051095979530830215969} ו- ‎\frac{6250000000000000000000000000000}{5518888884746806547310425082441} לשברים עם מכנה ‎64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329.

$$\frac{3311333330848083928386255049464600000000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329}-\frac{73111111525319349872067688849806250000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

מכיוון ש- \frac{3311333330848083928386255049464600000000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329} ו- \frac{73111111525319349872067688849806250000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329} כוללים מכנה זהה, חסר אותם על-ידי חיסור המונים שלהם.

$$\frac{3311333330848083928386255049464600000000000000000000000000000000-73111111525319349872067688849806250000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

החסר את 73111111525319349872067688849806250000000000000000000000000000 מ- 3311333330848083928386255049464600000000000000000000000000000000 כדי לקבל 3238222219322764578514187360614793750000000000000000000000000000.

$$\frac{3238222219322764578514187360614793750000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329}+64\times 0.3420201433256687^{2}$$

חשב את 0.3420201433256687 בחזקת 2 וקבל 0.11697777844051095979530830215969.

$$\frac{3238222219322764578514187360614793750000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329}+64\times 0.11697777844051095979530830215969$$

הכפל את ‎64 ו- ‎0.11697777844051095979530830215969 כדי לקבל ‎7.48657782019270142689973133822016.

$$\frac{3238222219322764578514187360614793750000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329}+7.48657782019270142689973133822016$$

המר את המספר העשרוני ‎7.48657782019270142689973133822016 לשבר ‎\frac{11697777844051095979530830215969}{10000000000}. צמצם את השבר ‎\frac{11697777844051095979530830215969}{10000000000} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 1.

$$\frac{3238222219322764578514187360614793750000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329}+\frac{11697777844051095979530830215969}{1562500000000000000000000000000}$$

המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329 ו- ‎1562500000000000000000000000000 היא 100873025187142275331828089915402656395452085573963047905781764062500000000000000000000000000. המר את ‎\frac{3238222219322764578514187360614793750000000000000000000000000000}{64558736119771056212369977545857700093089334767336350659700329} ו- ‎\frac{11697777844051095979530830215969}{1562500000000000000000000000000} לשברים עם מכנה ‎100873025187142275331828089915402656395452085573963047905781764062500000000000000000000000000.

$$\frac{5059722217691819653928417750960615234375000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{100873025187142275331828089915402656395452085573963047905781764062500000000000000000000000000}+\frac{755193753021799083572852173276890524858698368644990171879009323293911055544430132267890353801}{100873025187142275331828089915402656395452085573963047905781764062500000000000000000000000000}$$

מכיוון ש- \frac{5059722217691819653928417750960615234375000000000000000000000000000000000000000000000000000000}{100873025187142275331828089915402656395452085573963047905781764062500000000000000000000000000} ו- \frac{755193753021799083572852173276890524858698368644990171879009323293911055544430132267890353801}{100873025187142275331828089915402656395452085573963047905781764062500000000000000000000000000} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{5059722217691819653928417750960615234375000000000000000000000000000000000000000000000000000000+755193753021799083572852173276890524858698368644990171879009323293911055544430132267890353801}{100873025187142275331828089915402656395452085573963047905781764062500000000000000000000000000}$$

חבר את ‎5059722217691819653928417750960615234375000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ו- ‎755193753021799083572852173276890524858698368644990171879009323293911055544430132267890353801 כדי לקבל ‎5814915970713618737501269924237505759233698368644990171879009323293911055544430132267890353801.

$$\frac{5814915970713618737501269924237505759233698368644990171879009323293911055544430132267890353801}{100873025187142275331828089915402656395452085573963047905781764062500000000000000000000000000}$$