פתור את (16x^2-12x)^2=4(1+x^2)(64x^2-96x+1)

$$( 16 x ^ { 2 } - 12 x ) ^ { 2 } = 4 ( 1 + x ^ { 2 } ) ( 64 x ^ { 2 } - 96 x + 1 )$$

פתור עבור x

$$x = \frac{5 \sqrt{91} + 48}{29} \approx 3.299895175$$

$$x=\frac{48-5\sqrt{91}}{29}\approx 0.010449653$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(16x^{2}-12x\right)^{2}.

$$256\left(x^{2}\right)^{2}-384x^{2}x+144x^{2}=4\left(1+x^{2}\right)\left(64x^{2}-96x+1\right)$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$256x^{4}-384x^{2}x+144x^{2}=4\left(1+x^{2}\right)\left(64x^{2}-96x+1\right)$$

כדי להכפיל חזקות בעלות אותו בסיס, חבר את המעריכים שלהן. חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$256x^{4}-384x^{3}+144x^{2}=4\left(1+x^{2}\right)\left(64x^{2}-96x+1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 1+x^{2}.

$$256x^{4}-384x^{3}+144x^{2}=\left(4+4x^{2}\right)\left(64x^{2}-96x+1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4+4x^{2} ב- 64x^{2}-96x+1 ולכנס איברים דומים.

$$256x^{4}-384x^{3}+144x^{2}=260x^{2}-384x+4+256x^{4}-384x^{3}$$

החסר ‎260x^{2} משני האגפים.

$$256x^{4}-384x^{3}+144x^{2}-260x^{2}=-384x+4+256x^{4}-384x^{3}$$

כנס את ‎144x^{2} ו- ‎-260x^{2} כדי לקבל ‎-116x^{2}.

$$256x^{4}-384x^{3}-116x^{2}=-384x+4+256x^{4}-384x^{3}$$

הוסף ‎384x משני הצדדים.

$$256x^{4}-384x^{3}-116x^{2}+384x=4+256x^{4}-384x^{3}$$

החסר ‎4 משני האגפים.

$$256x^{4}-384x^{3}-116x^{2}+384x-4=256x^{4}-384x^{3}$$

החסר ‎256x^{4} משני האגפים.

$$256x^{4}-384x^{3}-116x^{2}+384x-4-256x^{4}=-384x^{3}$$

כנס את ‎256x^{4} ו- ‎-256x^{4} כדי לקבל ‎0.

$$-384x^{3}-116x^{2}+384x-4=-384x^{3}$$

הוסף ‎384x^{3} משני הצדדים.

$$-384x^{3}-116x^{2}+384x-4+384x^{3}=0$$

כנס את ‎-384x^{3} ו- ‎384x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$-116x^{2}+384x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -116 במקום a, ב- 384 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-384±\sqrt{384^{2}-4\left(-116\right)\left(-4\right)}}{2\left(-116\right)}$$

‎384 בריבוע.

$$x=\frac{-384±\sqrt{147456-4\left(-116\right)\left(-4\right)}}{2\left(-116\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-116.

$$x=\frac{-384±\sqrt{147456+464\left(-4\right)}}{2\left(-116\right)}$$

הכפל את ‎464 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-384±\sqrt{147456-1856}}{2\left(-116\right)}$$

הוסף את ‎147456 ל- ‎-1856.

$$x=\frac{-384±\sqrt{145600}}{2\left(-116\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 145600.

$$x=\frac{-384±40\sqrt{91}}{2\left(-116\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-116.

$$x=\frac{-384±40\sqrt{91}}{-232}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-384±40\sqrt{91}}{-232} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-384 ל- ‎40\sqrt{91}.

$$x=\frac{40\sqrt{91}-384}{-232}$$

חלק את ‎-384+40\sqrt{91} ב- ‎-232.

$$x=\frac{48-5\sqrt{91}}{29}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-384±40\sqrt{91}}{-232} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎40\sqrt{91} מ- ‎-384.

$$x=\frac{-40\sqrt{91}-384}{-232}$$

חלק את ‎-384-40\sqrt{91} ב- ‎-232.

$$x=\frac{5\sqrt{91}+48}{29}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{48-5\sqrt{91}}{29} x=\frac{5\sqrt{91}+48}{29}$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(16x^{2}-12x\right)^{2}.

$$256\left(x^{2}\right)^{2}-384x^{2}x+144x^{2}=4\left(1+x^{2}\right)\left(64x^{2}-96x+1\right)$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$256x^{4}-384x^{2}x+144x^{2}=4\left(1+x^{2}\right)\left(64x^{2}-96x+1\right)$$

כדי להכפיל חזקות בעלות אותו בסיס, חבר את המעריכים שלהן. חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$256x^{4}-384x^{3}+144x^{2}=4\left(1+x^{2}\right)\left(64x^{2}-96x+1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 1+x^{2}.

$$256x^{4}-384x^{3}+144x^{2}=\left(4+4x^{2}\right)\left(64x^{2}-96x+1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4+4x^{2} ב- 64x^{2}-96x+1 ולכנס איברים דומים.

$$256x^{4}-384x^{3}+144x^{2}=260x^{2}-384x+4+256x^{4}-384x^{3}$$

החסר ‎260x^{2} משני האגפים.

$$256x^{4}-384x^{3}+144x^{2}-260x^{2}=-384x+4+256x^{4}-384x^{3}$$

כנס את ‎144x^{2} ו- ‎-260x^{2} כדי לקבל ‎-116x^{2}.

$$256x^{4}-384x^{3}-116x^{2}=-384x+4+256x^{4}-384x^{3}$$

הוסף ‎384x משני הצדדים.

$$256x^{4}-384x^{3}-116x^{2}+384x=4+256x^{4}-384x^{3}$$

החסר ‎256x^{4} משני האגפים.

$$256x^{4}-384x^{3}-116x^{2}+384x-256x^{4}=4-384x^{3}$$

כנס את ‎256x^{4} ו- ‎-256x^{4} כדי לקבל ‎0.

$$-384x^{3}-116x^{2}+384x=4-384x^{3}$$

הוסף ‎384x^{3} משני הצדדים.

$$-384x^{3}-116x^{2}+384x+384x^{3}=4$$

כנס את ‎-384x^{3} ו- ‎384x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$-116x^{2}+384x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-116.

$$\frac{-116x^{2}+384x}{-116}=\frac{4}{-116}$$

חילוק ב- ‎-116 מבטל את ההכפלה ב- ‎-116.

$$x^{2}+\frac{384}{-116}x=\frac{4}{-116}$$

צמצם את השבר ‎\frac{384}{-116} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x^{2}-\frac{96}{29}x=\frac{4}{-116}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{-116} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x^{2}-\frac{96}{29}x=-\frac{1}{29}$$

חלק את ‎-\frac{96}{29}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{48}{29}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{48}{29} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{96}{29}x+\left(-\frac{48}{29}\right)^{2}=-\frac{1}{29}+\left(-\frac{48}{29}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{48}{29} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{96}{29}x+\frac{2304}{841}=-\frac{1}{29}+\frac{2304}{841}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{29} ל- ‎\frac{2304}{841} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{96}{29}x+\frac{2304}{841}=\frac{2275}{841}$$

פרק x^{2}-\frac{96}{29}x+\frac{2304}{841} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{48}{29}\right)^{2}=\frac{2275}{841}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{48}{29}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2275}{841}}$$

פשט.

$$x-\frac{48}{29}=\frac{5\sqrt{91}}{29} x-\frac{48}{29}=-\frac{5\sqrt{91}}{29}$$

הוסף ‎\frac{48}{29} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5\sqrt{91}+48}{29} x=\frac{48-5\sqrt{91}}{29}$$