פתור את (1+x)^3=27

$$( 1 + x ) ^ { 3 } = 27$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=2$$

$$x=\frac{-5+3\sqrt{3}i}{2}\approx -2.5+2.598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2.5-2.598076211i$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(1+x\right)^{3}.

$$1+3x+3x^{2}+x^{3}=27$$

החסר ‎27 משני האגפים.

$$1+3x+3x^{2}+x^{3}-27=0$$

החסר את 27 מ- 1 כדי לקבל -26.

$$-26+3x+3x^{2}+x^{3}=0$$

סדר מחדש את המשוואה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$x^{3}+3x^{2}+3x-26=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -26 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±26,±13,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+3x^{2}+3x-26 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{2}+5x+13. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+5x+13=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎5 ב- b ואת ‎13 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-27}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+5x+13=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}-5}{2} x=\frac{-5+3i\sqrt{3}}{2}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=2 x=\frac{-3i\sqrt{3}-5}{2} x=\frac{-5+3i\sqrt{3}}{2}$$

פתור עבור x

$$x=2$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} כדי להרחיב את ‎\left(1+x\right)^{3}.

$$1+3x+3x^{2}+x^{3}=27$$

החסר ‎27 משני האגפים.

$$1+3x+3x^{2}+x^{3}-27=0$$

החסר את 27 מ- 1 כדי לקבל -26.

$$-26+3x+3x^{2}+x^{3}=0$$

סדר מחדש את המשוואה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$x^{3}+3x^{2}+3x-26=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -26 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±26,±13,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+3x^{2}+3x-26 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{2}+5x+13. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+5x+13=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎5 ב- b ואת ‎13 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-27}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=2$$