פתור את (1+sqrt{2}+sqrt{3})(2+sqrt{2}-sqrt{6})-(sqrt{3}-1)^2

$$( 1 + \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } ) ( 2 + \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } ) - ( \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 2 }$$

הערך

$$2\sqrt{3}\approx 3.464101615$$

שלבי פתרון

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} ב- 2+\sqrt{2}-\sqrt{6} ולכנס איברים דומים.

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+2-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

חבר את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

פרק את 6=2\times 3 לגורמים. שכתב את השורש הריבועי של \sqrt{2\times 3} המוצר בתור המכפלה של \sqrt{2}\sqrt{3} ריבועיים הריבועי.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

הכפל את ‎\sqrt{2} ו- ‎\sqrt{2} כדי לקבל ‎2.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

כנס את ‎-2\sqrt{3} ו- ‎2\sqrt{3} כדי לקבל ‎0.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

כדי להכפיל \sqrt{3} ו\sqrt{2}, הכפל את המספרים תחת השורש הריבועי.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

כנס את ‎-\sqrt{6} ו- ‎\sqrt{6} כדי לקבל ‎0.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

פרק את 6=3\times 2 לגורמים. שכתב את השורש הריבועי של \sqrt{3\times 2} המוצר בתור המכפלה של \sqrt{3}\sqrt{2} ריבועיים הריבועי.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

הכפל את ‎\sqrt{3} ו- ‎\sqrt{3} כדי לקבל ‎3.

$$4+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

כנס את ‎3\sqrt{2} ו- ‎-3\sqrt{2} כדי לקבל ‎0.

$$4-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$4-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1\right)$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$4-\left(3-2\sqrt{3}+1\right)$$

חבר את ‎3 ו- ‎1 כדי לקבל ‎4.

$$4-\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎4-2\sqrt{3}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$4-4+2\sqrt{3}$$

החסר את 4 מ- 4 כדי לקבל 0.

$$2\sqrt{3}$$