פתור את (sqrt{2}+sqrt{5})^2-(2+sqrt{10})^2+sqrt{90}+(2sqrt{2}-1)(2sqrt{2}+1)

$$( \sqrt { 2 } + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( 2 + \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } + \sqrt { 90 } + ( 2 \sqrt { 2 } - 1 ) ( 2 \sqrt { 2 } + 1 )$$

הערך

$$\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

כדי להכפיל \sqrt{2} ו\sqrt{5}, הכפל את המספרים תחת השורש הריבועי.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

הריבוע של ‎\sqrt{5} הוא ‎5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

חבר את ‎2 ו- ‎5 כדי לקבל ‎7.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

הריבוע של ‎\sqrt{10} הוא ‎10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

חבר את ‎4 ו- ‎10 כדי לקבל ‎14.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎14+4\sqrt{10}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

החסר את 14 מ- 7 כדי לקבל -7.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

כנס את ‎2\sqrt{10} ו- ‎-4\sqrt{10} כדי לקבל ‎-2\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

פרק את 90=3^{2}\times 10 לגורמים. שכתב את השורש הריבועי של המכפלה \sqrt{3^{2}\times 10} כמכפלה של השורשים הריבועיים \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. הוצא את השורש הריבועי של 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

כנס את ‎-2\sqrt{10} ו- ‎3\sqrt{10} כדי לקבל ‎\sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

שקול את \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. ‎1 בריבוע.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

פיתוח ‎\left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

הריבוע של ‎\sqrt{2} הוא ‎2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

הכפל את ‎4 ו- ‎2 כדי לקבל ‎8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

החסר את 1 מ- 8 כדי לקבל 7.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

חבר את ‎-7 ו- ‎7 כדי לקבל ‎0.

$$\sqrt{10}$$