פתור את (5/2y+7/2)^2+y^2+3(5/2y+1/2)+4y-1=0

$$( \frac { 5 } { 2 } y + \frac { 7 } { 2 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 3 ( \frac { 5 } { 2 } y + \frac { 1 } { 2 } ) + 4 y - 1 = 0$$

פתור עבור y

$$y=\frac{\sqrt{1885}}{29}-2\approx -0.502876321$$

$$y=-\frac{\sqrt{1885}}{29}-2\approx -3.497123679$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)^{2}.

$$\frac{25}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+y^{2}+3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y-1=0$$

כנס את ‎\frac{25}{4}y^{2} ו- ‎y^{2} כדי לקבל ‎\frac{29}{4}y^{2}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y-1=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- \frac{5}{2}y+\frac{1}{2}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+\frac{15}{2}y+\frac{3}{2}+4y-1=0$$

כנס את ‎\frac{35}{2}y ו- ‎\frac{15}{2}y כדי לקבל ‎25y.

$$\frac{29}{4}y^{2}+25y+\frac{49}{4}+\frac{3}{2}+4y-1=0$$

חבר את ‎\frac{49}{4} ו- ‎\frac{3}{2} כדי לקבל ‎\frac{55}{4}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+25y+\frac{55}{4}+4y-1=0$$

כנס את ‎25y ו- ‎4y כדי לקבל ‎29y.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y+\frac{55}{4}-1=0$$

החסר את 1 מ- \frac{55}{4} כדי לקבל \frac{51}{4}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y+\frac{51}{4}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- \frac{29}{4} במקום a, ב- 29 במקום b, וב- \frac{51}{4} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times \frac{29}{4}\times \frac{51}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

‎29 בריבוע.

$$y=\frac{-29±\sqrt{841-4\times \frac{29}{4}\times \frac{51}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{29}{4}.

$$y=\frac{-29±\sqrt{841-29\times \frac{51}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

הכפל את ‎-29 ב- ‎\frac{51}{4}.

$$y=\frac{-29±\sqrt{841-\frac{1479}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

הוסף את ‎841 ל- ‎-\frac{1479}{4}.

$$y=\frac{-29±\sqrt{\frac{1885}{4}}}{2\times \frac{29}{4}}$$

הוצא את השורש הריבועי של \frac{1885}{4}.

$$y=\frac{-29±\frac{\sqrt{1885}}{2}}{2\times \frac{29}{4}}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{29}{4}.

$$y=\frac{-29±\frac{\sqrt{1885}}{2}}{\frac{29}{2}}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-29±\frac{\sqrt{1885}}{2}}{\frac{29}{2}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-29 ל- ‎\frac{\sqrt{1885}}{2}.

$$y=\frac{\frac{\sqrt{1885}}{2}-29}{\frac{29}{2}}$$

חלק את ‎-29+\frac{\sqrt{1885}}{2} ב- ‎\frac{29}{2} על-ידי הכפלת ‎-29+\frac{\sqrt{1885}}{2} בהופכי של ‎\frac{29}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{1885}}{29}-2$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-29±\frac{\sqrt{1885}}{2}}{\frac{29}{2}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\frac{\sqrt{1885}}{2} מ- ‎-29.

$$y=\frac{-\frac{\sqrt{1885}}{2}-29}{\frac{29}{2}}$$

חלק את ‎-29-\frac{\sqrt{1885}}{2} ב- ‎\frac{29}{2} על-ידי הכפלת ‎-29-\frac{\sqrt{1885}}{2} בהופכי של ‎\frac{29}{2}.

$$y=-\frac{\sqrt{1885}}{29}-2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=\frac{\sqrt{1885}}{29}-2 y=-\frac{\sqrt{1885}}{29}-2$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)^{2}.

$$\frac{25}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+y^{2}+3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y-1=0$$

כנס את ‎\frac{25}{4}y^{2} ו- ‎y^{2} כדי לקבל ‎\frac{29}{4}y^{2}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y-1=0$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- \frac{5}{2}y+\frac{1}{2}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+\frac{35}{2}y+\frac{49}{4}+\frac{15}{2}y+\frac{3}{2}+4y-1=0$$

כנס את ‎\frac{35}{2}y ו- ‎\frac{15}{2}y כדי לקבל ‎25y.

$$\frac{29}{4}y^{2}+25y+\frac{49}{4}+\frac{3}{2}+4y-1=0$$

חבר את ‎\frac{49}{4} ו- ‎\frac{3}{2} כדי לקבל ‎\frac{55}{4}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+25y+\frac{55}{4}+4y-1=0$$

כנס את ‎25y ו- ‎4y כדי לקבל ‎29y.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y+\frac{55}{4}-1=0$$

החסר את 1 מ- \frac{55}{4} כדי לקבל \frac{51}{4}.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y+\frac{51}{4}=0$$

החסר ‎\frac{51}{4} משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$\frac{29}{4}y^{2}+29y=-\frac{51}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{29}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$\frac{\frac{29}{4}y^{2}+29y}{\frac{29}{4}}=-\frac{\frac{51}{4}}{\frac{29}{4}}$$

חילוק ב- ‎\frac{29}{4} מבטל את ההכפלה ב- ‎\frac{29}{4}.

$$y^{2}+\frac{29}{\frac{29}{4}}y=-\frac{\frac{51}{4}}{\frac{29}{4}}$$

חלק את ‎29 ב- ‎\frac{29}{4} על-ידי הכפלת ‎29 בהופכי של ‎\frac{29}{4}.

$$y^{2}+4y=-\frac{\frac{51}{4}}{\frac{29}{4}}$$

חלק את ‎-\frac{51}{4} ב- ‎\frac{29}{4} על-ידי הכפלת ‎-\frac{51}{4} בהופכי של ‎\frac{29}{4}.

$$y^{2}+4y=-\frac{51}{29}$$

חלק את ‎4, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎2. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 2 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}+4y+2^{2}=-\frac{51}{29}+2^{2}$$

‎2 בריבוע.

$$y^{2}+4y+4=-\frac{51}{29}+4$$

הוסף את ‎-\frac{51}{29} ל- ‎4.

$$y^{2}+4y+4=\frac{65}{29}$$

פרק y^{2}+4y+4 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+2\right)^{2}=\frac{65}{29}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{29}}$$

פשט.

$$y+2=\frac{\sqrt{1885}}{29} y+2=-\frac{\sqrt{1885}}{29}$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{\sqrt{1885}}{29}-2 y=-\frac{\sqrt{1885}}{29}-2$$