פתור את (1/4r-s+2/3t)^2-(r+1/4s)^2-(s-2/3t)^2+frac{1}{16}(r+s)(15r+s)

$$( \frac { 1 } { 4 } r - s + \frac { 2 } { 3 } t ) ^ { 2 } - ( r + \frac { 1 } { 4 } s ) ^ { 2 } - ( s - \frac { 2 } { 3 } t ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 16 } ( r + s ) ( 15 r + s )$$

הערך

$$\frac{rt}{3}$$

שלבי פתרון

‎\frac{1}{4}r-s+\frac{2}{3}t בריבוע.

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(r+\frac{1}{4}s\right)^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(r+\frac{1}{4}s\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(r^{2}+\frac{1}{2}rs+\frac{1}{16}s^{2}\right)-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎r^{2}+\frac{1}{2}rs+\frac{1}{16}s^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-r^{2}-\frac{1}{2}rs-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎\frac{1}{16}r^{2} ו- ‎-r^{2} כדי לקבל ‎-\frac{15}{16}r^{2}.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{1}{2}rs-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎-\frac{1}{2}rs ו- ‎-\frac{1}{2}rs כדי לקבל ‎-rs.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎s^{2} ו- ‎-\frac{1}{16}s^{2} כדי לקבל ‎\frac{15}{16}s^{2}.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}\right)+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-s^{2}+\frac{4}{3}st-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎\frac{15}{16}s^{2} ו- ‎-s^{2} כדי לקבל ‎-\frac{1}{16}s^{2}.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}+\frac{4}{3}st-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎-\frac{4}{3}st ו- ‎\frac{4}{3}st כדי לקבל ‎0.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎\frac{4}{9}t^{2} ו- ‎-\frac{4}{9}t^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{16} ב- r+s.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\left(\frac{1}{16}r+\frac{1}{16}s\right)\left(15r+s\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{16}r+\frac{1}{16}s ב- 15r+s ולכנס איברים דומים.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{15}{16}r^{2}+rs+\frac{1}{16}s^{2}$$

כנס את ‎-\frac{15}{16}r^{2} ו- ‎\frac{15}{16}r^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+rs+\frac{1}{16}s^{2}$$

כנס את ‎-rs ו- ‎rs כדי לקבל ‎0.

$$\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{1}{16}s^{2}$$

כנס את ‎-\frac{1}{16}s^{2} ו- ‎\frac{1}{16}s^{2} כדי לקבל ‎0.

$$\frac{1}{3}rt$$

הרחב

$$\frac{rt}{3}$$

שלבי פתרון

‎\frac{1}{4}r-s+\frac{2}{3}t בריבוע.

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(r+\frac{1}{4}s\right)^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(r+\frac{1}{4}s\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(r^{2}+\frac{1}{2}rs+\frac{1}{16}s^{2}\right)-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎r^{2}+\frac{1}{2}rs+\frac{1}{16}s^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$\frac{1}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-r^{2}-\frac{1}{2}rs-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎\frac{1}{16}r^{2} ו- ‎-r^{2} כדי לקבל ‎-\frac{15}{16}r^{2}.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-\frac{1}{2}rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{1}{2}rs-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎-\frac{1}{2}rs ו- ‎-\frac{1}{2}rs כדי לקבל ‎-rs.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{1}{16}s^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎s^{2} ו- ‎-\frac{1}{16}s^{2} כדי לקבל ‎\frac{15}{16}s^{2}.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(s-\frac{2}{3}t\right)^{2}.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-\left(s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}\right)+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt+\frac{15}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}-s^{2}+\frac{4}{3}st-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎\frac{15}{16}s^{2} ו- ‎-s^{2} כדי לקבל ‎-\frac{1}{16}s^{2}.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}-\frac{4}{3}st+\frac{4}{9}t^{2}+\frac{4}{3}st-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎-\frac{4}{3}st ו- ‎\frac{4}{3}st כדי לקבל ‎0.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{4}{9}t^{2}-\frac{4}{9}t^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

כנס את ‎\frac{4}{9}t^{2} ו- ‎-\frac{4}{9}t^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{1}{16}\left(r+s\right)\left(15r+s\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{16} ב- r+s.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\left(\frac{1}{16}r+\frac{1}{16}s\right)\left(15r+s\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{16}r+\frac{1}{16}s ב- 15r+s ולכנס איברים דומים.

$$-\frac{15}{16}r^{2}-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{15}{16}r^{2}+rs+\frac{1}{16}s^{2}$$

כנס את ‎-\frac{15}{16}r^{2} ו- ‎\frac{15}{16}r^{2} כדי לקבל ‎0.

$$-rs+\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+rs+\frac{1}{16}s^{2}$$

כנס את ‎-rs ו- ‎rs כדי לקבל ‎0.

$$\frac{1}{3}rt-\frac{1}{16}s^{2}+\frac{1}{16}s^{2}$$

כנס את ‎-\frac{1}{16}s^{2} ו- ‎\frac{1}{16}s^{2} כדי לקבל ‎0.

$$\frac{1}{3}rt$$