פתור את |1+3i/-4-3i|

$$| \frac { 1 + 3 i } { - 4 - 3 i } |$$

הערך

$$\frac{\sqrt{10}}{5}\approx 0.632455532$$

שלבי פתרון

הכפל גם את המונה וגם את המכנה של ‎\frac{1+3i}{-4-3i} בצמוד המרוכב של המכנה, ‎-4+3i.

$$|\frac{\left(1+3i\right)\left(-4+3i\right)}{\left(-4-3i\right)\left(-4+3i\right)}|$$

ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$|\frac{\left(1+3i\right)\left(-4+3i\right)}{\left(-4\right)^{2}-3^{2}i^{2}}|$$

על-פי ההגדרה, i^{2} הוא -1. חשב את המכנה.

$$|\frac{\left(1+3i\right)\left(-4+3i\right)}{25}|$$

הכפל מספרים מרוכבים ‎1+3i ו- ‎-4+3i בדומה לאופן הכפלת בינומים.

$$|\frac{1\left(-4\right)+1\times \left(3i\right)+3i\left(-4\right)+3\times 3i^{2}}{25}|$$

על-פי ההגדרה, i^{2} הוא -1.

$$|\frac{1\left(-4\right)+1\times \left(3i\right)+3i\left(-4\right)+3\times 3\left(-1\right)}{25}|$$

בצע את פעולות הכפל ב- ‎1\left(-4\right)+1\times \left(3i\right)+3i\left(-4\right)+3\times 3\left(-1\right).

$$|\frac{-4+3i-12i-9}{25}|$$

כנס את החלקים הממשיים והחלקים המדומים ב- ‎-4+3i-12i-9.

$$|\frac{-4-9+\left(3-12\right)i}{25}|$$

בצע את פעולות החיבור ב- ‎-4-9+\left(3-12\right)i.

$$|\frac{-13-9i}{25}|$$

חלק את ‎-13-9i ב- ‎25 כדי לקבל ‎-\frac{13}{25}-\frac{9}{25}i.

$$|-\frac{13}{25}-\frac{9}{25}i|$$

המודולוס של מספר מרוכב a+bi הוא ‎\sqrt{a^{2}+b^{2}}‎. המודולוס של -\frac{13}{25}-\frac{9}{25}i הוא \sqrt{\frac{2}{5}}.

$$\sqrt{\frac{2}{5}}$$

שכתב את השורש הריבועי של החילוק \sqrt{\frac{2}{5}} כריבועיים הריבועי \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{5}.

$$\frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{5} הוא ‎5.

$$\frac{\sqrt{2}\sqrt{5}}{5}$$

כדי להכפיל \sqrt{2} ו\sqrt{5}, הכפל את המספרים תחת השורש הריבועי.

$$\frac{\sqrt{10}}{5}$$

חלק ממשי

$$\frac{\sqrt{10}}{5} = 0.6324555320336759$$