פתור את y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

פתור עבור y

$$y=6$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

הוסף ‎54 משני הצדדים.

$$y^{2}-15y+54=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את y^{2}-15y+54 לגורמים באמצעות הנוסחה y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-15 ab=54$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -15.

$$a=-9 b=-6$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(y+a\right)\left(y+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-9=0 ו- y-6=0.

$$y=9 y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

הוסף ‎54 משני הצדדים.

$$y^{2}-15y+54=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- y^{2}+ay+by+54. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -15.

$$a=-9 b=-6$$

שכתב את ‎y^{2}-15y+54 כ- ‎\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת -6 בקבוצה השניה.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-9=0 ו- y-6=0.

$$y=9 y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y^{2}-15y=-54$$

הוסף ‎54 לשני אגפי המשוואה.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

החסרת -54 מעצמו נותנת 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

החסר ‎-54 מ- ‎0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -15 במקום b, וב- 54 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

‎-15 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

הוסף את ‎225 ל- ‎-216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

ההופכי של ‎-15 הוא ‎15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{15±3}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎15 ל- ‎3.

$$y=\frac{18}{2}$$

חלק את ‎18 ב- ‎2.

$$y=9$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{15±3}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎15.

$$y=\frac{12}{2}$$

חלק את ‎12 ב- ‎2.

$$y=6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=9 y=6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

חלק את ‎-15, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{15}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{15}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

הוסף את ‎-54 ל- ‎\frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

פרק y^{2}-15y+\frac{225}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

הוסף ‎\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=9 y=6$$