פתור את x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x=1$$

שלבי פתרון

החסר ‎x^{4} משני האגפים.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

סדר מחדש את המשוואה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{5}+x^{4}-x-1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{5}+x^{4}-x-1 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{3}+x^{2}+x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+x^{2}+x+1 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{2}+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=-1$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$