פתור את x^4-4x^2+3

$${ x }^{ 4 } -4 { x }^{ 2 } +3$$

פרק לגורמים

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

שלבי פתרון

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{4}-4x^{2}+3=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 3 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}-4x^{2}+3 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}+x^{2}-3x-3. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x-3=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -3 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+x^{2}-3x-3 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{2}-3. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{2}-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎-3 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-3=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\sqrt{3} x=\sqrt{3}$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו. הפולינום x^{2}-3 אינו מפורק לגורמים מכיוון שאין לו שורשים רציונליים.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

הערך

$$x^{4}-4x^{2}+3$$