פתור את x^4+x^3+x^2+x=left(x+1right)^2

$${ x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } + { x }^{ 2 } +x = { \left(x+1 \right) }^{ 2 }$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=1$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=x^{2}+2x+1$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-x^{2}=2x+1$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$x^{4}+x^{3}+x=2x+1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$x^{4}+x^{3}+x-2x=1$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$x^{4}+x^{3}-x=1$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$x^{4}+x^{3}-x-1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}+x^{3}-x-1 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}+2x^{2}+2x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+2x^{2}+2x+1 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{2}+x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎1 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+x+1=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=-1 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x=1$$

שלבי פתרון

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=x^{2}+2x+1$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-x^{2}=2x+1$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎0.

$$x^{4}+x^{3}+x=2x+1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$x^{4}+x^{3}+x-2x=1$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$x^{4}+x^{3}-x=1$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$x^{4}+x^{3}-x-1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}+x^{3}-x-1 ב- ‎x-1 כדי לקבל ‎x^{3}+2x^{2}+2x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+2x^{2}+2x+1 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{2}+x+1. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎1 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=1 x=-1$$