פתור את x^3-5x^2+7x+13=0

$${ x }^{ 3 } -5 { x }^{ 2 } +7x+13=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=3-2i$$

$$x=-1$$

$$x=3+2i$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 13 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±13,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-5x^{2}+7x+13 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{2}-6x+13. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-6x+13=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-6 ב- b ואת ‎13 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}-6x+13=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=3-2i x=3+2i$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1 x=3-2i x=3+2i$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 13 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±13,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}-5x^{2}+7x+13 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{2}-6x+13. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}-6x+13=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-6 ב- b ואת ‎13 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{6±\sqrt{-16}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1$$