פתור את x^3+6x^2+16x+16=0

$${ x }^{ 3 } +6 { x }^{ 2 } +16x+16 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-2-2i$$

$$x=-2$$

$$x=-2+2i$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 16 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+6x^{2}+16x+16 ב- ‎x+2 כדי לקבל ‎x^{2}+4x+8. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+4x+8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎4 ב- b ואת ‎8 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+4x+8=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-2-2i x=-2+2i$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-2 x=-2-2i x=-2+2i$$

פתור עבור x

$$x=-2$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 16 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+6x^{2}+16x+16 ב- ‎x+2 כדי לקבל ‎x^{2}+4x+8. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+4x+8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎4 ב- b ואת ‎8 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-2$$