פתור את x^2-9x-70=0

$${ x }^{ 2 } -9x-70 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-5$$

$$x=14$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-9x-70 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=-70$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-14 b=5$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-14=0 ו- x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-70. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=1\left(-70\right)=-70$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-14 b=5$$

שכתב את ‎x^{2}-9x-70 כ- ‎\left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right).

$$\left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-14\right)+5\left(x-14\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-14 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-14=0 ו- x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-9x-70=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -9 במקום b, וב- -70 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-70\right)}}{2}$$

‎-9 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-70\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-70.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+280}}{2}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎280.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{361}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±19}{2}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$x=\frac{9±19}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±19}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎19.

$$x=\frac{28}{2}$$

חלק את ‎28 ב- ‎2.

$$x=14$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±19}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎9.

$$x=-\frac{10}{2}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎2.

$$x=-5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=14 x=-5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x-70=0$$

הוסף ‎70 לשני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-9x-70-\left(-70\right)=-\left(-70\right)$$

החסרת -70 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-9x=-\left(-70\right)$$

החסר ‎-70 מ- ‎0.

$$x^{2}-9x=70$$

חלק את ‎-9, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=70+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=70+\frac{81}{4}$$

הוסף את ‎70 ל- ‎\frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{361}{4}$$

פרק x^{2}-9x+\frac{81}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{19}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{19}{2}$$

הוסף ‎\frac{9}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=14 x=-5$$