פתור את x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-6x+11=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -6 במקום b, וב- 11 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

‎-6 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

ההופכי של ‎-6 הוא ‎6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎6 ל- ‎2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

חלק את ‎6+2i\sqrt{2} ב- ‎2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{2} מ- ‎6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

חלק את ‎6-2i\sqrt{2} ב- ‎2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

החסר ‎11 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

החסרת 11 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

חלק את ‎-6, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-3. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -3 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

‎-3 בריבוע.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

הוסף את ‎-11 ל- ‎9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

פרק x^{2}-6x+9 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

פשט.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$