פתור את x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-3 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} ו- ‎x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} הוא חיובי ו- ‎x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} הוא שלילי.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} הוא חיובי ו- ‎x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} הוא שלילי.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$