פתור את x^2-22x+120=0

$${ x }^{ 2 } -22x+120=0$$

פתור עבור x

$$x=10$$

$$x=12$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-22x+120 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-22 ab=120$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -22.

$$a=-12 b=-10$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-12\right)\left(x-10\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- x-10=0.

$$x=12 x=10$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+120. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-22 ab=1\times 120=120$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -22.

$$a=-12 b=-10$$

שכתב את ‎x^{2}-22x+120 כ- ‎\left(x^{2}-12x\right)+\left(-10x+120\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-10x+120\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -10 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-12\right)-10\left(x-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-12\right)\left(x-10\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- x-10=0.

$$x=12 x=10$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-22x+120=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -22 במקום b, וב- 120 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 120}}{2}$$

‎-22 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 120}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎120.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2}$$

הוסף את ‎484 ל- ‎-480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2}$$

ההופכי של ‎-22 הוא ‎22.

$$x=\frac{22±2}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{22±2}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎22 ל- ‎2.

$$x=\frac{24}{2}$$

חלק את ‎24 ב- ‎2.

$$x=12$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{22±2}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2 מ- ‎22.

$$x=\frac{20}{2}$$

חלק את ‎20 ב- ‎2.

$$x=10$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=12 x=10$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-22x+120=0$$

החסר ‎120 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-22x+120-120=-120$$

החסרת 120 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-22x=-120$$

חלק את ‎-22, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-11. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -11 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-22x+\left(-11\right)^{2}=-120+\left(-11\right)^{2}$$

‎-11 בריבוע.

$$x^{2}-22x+121=-120+121$$

הוסף את ‎-120 ל- ‎121.

$$x^{2}-22x+121=1$$

פרק x^{2}-22x+121 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-11\right)^{2}=1$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-11\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

פשט.

$$x-11=1 x-11=-1$$

הוסף ‎11 לשני אגפי המשוואה.

$$x=12 x=10$$