פתור את x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

פתור עבור x

$$x=8$$

$$x=13$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-21x+104 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-21 ab=104$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -21.

$$a=-13 b=-8$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-13=0 ו- x-8=0.

$$x=13 x=8$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+104. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -21.

$$a=-13 b=-8$$

שכתב את ‎x^{2}-21x+104 כ- ‎\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -8 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-13 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-13=0 ו- x-8=0.

$$x=13 x=8$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-21x+104=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -21 במקום b, וב- 104 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

‎-21 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

הוסף את ‎441 ל- ‎-416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

ההופכי של ‎-21 הוא ‎21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{21±5}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎21 ל- ‎5.

$$x=\frac{26}{2}$$

חלק את ‎26 ב- ‎2.

$$x=13$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{21±5}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎21.

$$x=\frac{16}{2}$$

חלק את ‎16 ב- ‎2.

$$x=8$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=13 x=8$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

החסר ‎104 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

החסרת 104 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

חלק את ‎-21, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{21}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{21}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{21}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

הוסף את ‎-104 ל- ‎\frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

פרק x^{2}-21x+\frac{441}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

הוסף ‎\frac{21}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=13 x=8$$