פתור את x^2-10x+11=0

$${ x }^{ 2 } -10x+11=0$$

פתור עבור x

$$x=\sqrt{14}+5\approx 8.741657387$$

$$x=5-\sqrt{14}\approx 1.258342613$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-10x+11=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -10 במקום b, וב- 11 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

‎-10 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44}}{2}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{56}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{14}}{2}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+10}{2}$$

חלק את ‎10+2\sqrt{14} ב- ‎2.

$$x=\sqrt{14}+5$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{14} מ- ‎10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{14}}{2}$$

חלק את ‎10-2\sqrt{14} ב- ‎2.

$$x=5-\sqrt{14}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+11=0$$

החסר ‎11 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-10x+11-11=-11$$

החסרת 11 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-10x=-11$$

חלק את ‎-10, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-5. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -5 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-11+\left(-5\right)^{2}$$

‎-5 בריבוע.

$$x^{2}-10x+25=-11+25$$

הוסף את ‎-11 ל- ‎25.

$$x^{2}-10x+25=14$$

פרק x^{2}-10x+25 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=14$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

פשט.

$$x-5=\sqrt{14} x-5=-\sqrt{14}$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$