פתור את x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2.5-0.866025404i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}+5x+7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- 7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{3} מ- ‎-5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+7=0$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

החסרת 7 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}+5x=-7$$

חלק את ‎5, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

הוסף את ‎-7 ל- ‎\frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

פרק x^{2}+5x+\frac{25}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$