פתור את x^2+25x+100=0

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

פתור עבור x

$$x=-20$$

$$x=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}+25x+100 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=25 ab=100$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 25.

$$a=5 b=20$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x+5=0 ו- x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+100. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 25.

$$a=5 b=20$$

שכתב את ‎x^{2}+25x+100 כ- ‎\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 20 בקבוצה השניה.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x+5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x+5=0 ו- x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}+25x+100=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- 25 במקום b, וב- 100 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

‎25 בריבוע.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

הוסף את ‎625 ל- ‎-400.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 225.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-25±15}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-25 ל- ‎15.

$$x=-\frac{10}{2}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎2.

$$x=-5$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-25±15}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎15 מ- ‎-25.

$$x=-\frac{40}{2}$$

חלק את ‎-40 ב- ‎2.

$$x=-20$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-5 x=-20$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x+100=0$$

החסר ‎100 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

החסרת 100 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}+25x=-100$$

חלק את ‎25, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{25}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{25}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{25}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

הוסף את ‎-100 ל- ‎\frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

פרק x^{2}+25x+\frac{625}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

החסר ‎\frac{25}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=-5 x=-20$$