פתור את left(8-3xright)^2=11-(3-2x)(4+x)

$${ \left(8-3x \right) }^{ 2 } =11-(3-2x)(4+x)$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{989} + 53}{14} \approx 6.032026456$$

$$x = \frac{53 - \sqrt{989}}{14} \approx 1.539402115$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(8-3x\right)^{2}.

$$64-48x+9x^{2}=11-\left(3-2x\right)\left(4+x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3-2x ב- 4+x ולכנס איברים דומים.

$$64-48x+9x^{2}=11-\left(12-5x-2x^{2}\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎12-5x-2x^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$64-48x+9x^{2}=11-12+5x+2x^{2}$$

החסר את 12 מ- 11 כדי לקבל -1.

$$64-48x+9x^{2}=-1+5x+2x^{2}$$

החסר ‎-1 משני האגפים.

$$64-48x+9x^{2}-\left(-1\right)=5x+2x^{2}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$64-48x+9x^{2}+1=5x+2x^{2}$$

החסר ‎5x משני האגפים.

$$64-48x+9x^{2}+1-5x=2x^{2}$$

חבר את ‎64 ו- ‎1 כדי לקבל ‎65.

$$65-48x+9x^{2}-5x=2x^{2}$$

כנס את ‎-48x ו- ‎-5x כדי לקבל ‎-53x.

$$65-53x+9x^{2}=2x^{2}$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$65-53x+9x^{2}-2x^{2}=0$$

כנס את ‎9x^{2} ו- ‎-2x^{2} כדי לקבל ‎7x^{2}.

$$65-53x+7x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7x^{2}-53x+65=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- -53 במקום b, וב- 65 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{\left(-53\right)^{2}-4\times 7\times 65}}{2\times 7}$$

‎-53 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-4\times 7\times 65}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-28\times 65}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎65.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-1820}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎2809 ל- ‎-1820.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{989}}{2\times 7}$$

ההופכי של ‎-53 הוא ‎53.

$$x=\frac{53±\sqrt{989}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$x=\frac{53±\sqrt{989}}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{53±\sqrt{989}}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎53 ל- ‎\sqrt{989}.

$$x=\frac{\sqrt{989}+53}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{53±\sqrt{989}}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{989} מ- ‎53.

$$x=\frac{53-\sqrt{989}}{14}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{989}+53}{14} x=\frac{53-\sqrt{989}}{14}$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(8-3x\right)^{2}.

$$64-48x+9x^{2}=11-\left(3-2x\right)\left(4+x\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3-2x ב- 4+x ולכנס איברים דומים.

$$64-48x+9x^{2}=11-\left(12-5x-2x^{2}\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎12-5x-2x^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$64-48x+9x^{2}=11-12+5x+2x^{2}$$

החסר את 12 מ- 11 כדי לקבל -1.

$$64-48x+9x^{2}=-1+5x+2x^{2}$$

החסר ‎5x משני האגפים.

$$64-48x+9x^{2}-5x=-1+2x^{2}$$

כנס את ‎-48x ו- ‎-5x כדי לקבל ‎-53x.

$$64-53x+9x^{2}=-1+2x^{2}$$

החסר ‎2x^{2} משני האגפים.

$$64-53x+9x^{2}-2x^{2}=-1$$

כנס את ‎9x^{2} ו- ‎-2x^{2} כדי לקבל ‎7x^{2}.

$$64-53x+7x^{2}=-1$$

החסר ‎64 משני האגפים.

$$-53x+7x^{2}=-1-64$$

החסר את 64 מ- -1 כדי לקבל -65.

$$-53x+7x^{2}=-65$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-53x=-65$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7x^{2}-53x}{7}=-\frac{65}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$x^{2}-\frac{53}{7}x=-\frac{65}{7}$$

חלק את ‎-\frac{53}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{53}{14}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{53}{14} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{53}{7}x+\left(-\frac{53}{14}\right)^{2}=-\frac{65}{7}+\left(-\frac{53}{14}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{53}{14} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{53}{7}x+\frac{2809}{196}=-\frac{65}{7}+\frac{2809}{196}$$

הוסף את ‎-\frac{65}{7} ל- ‎\frac{2809}{196} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{53}{7}x+\frac{2809}{196}=\frac{989}{196}$$

פרק x^{2}-\frac{53}{7}x+\frac{2809}{196} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{53}{14}\right)^{2}=\frac{989}{196}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{53}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{989}{196}}$$

פשט.

$$x-\frac{53}{14}=\frac{\sqrt{989}}{14} x-\frac{53}{14}=-\frac{\sqrt{989}}{14}$$

הוסף ‎\frac{53}{14} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{989}+53}{14} x=\frac{53-\sqrt{989}}{14}$$