פתור את sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x} בחזקת 2 וקבל x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$x-x^{2}+2x=1$$

כנס את ‎x ו- ‎2x כדי לקבל ‎3x.

$$3x-x^{2}=1$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$3x-x^{2}-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎\sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

חלק את ‎-3+\sqrt{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{5} מ- ‎-3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

חלק את ‎-3-\sqrt{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3-\sqrt{5}}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

פשט. הערך x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} אינו עומד במשוואה מכיוון שצדו השמאלי והאגף השמאלי מנוגדים.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{5}+3}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

פשט. הערך x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} פותר את המשוואה.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

למשוואה \sqrt{x}=x-1 יש פתרון יחיד.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$