פתור את sqrt{15}div(1/sqrt{3}+1/sqrt{5})

$$\sqrt{ 15 } \div ( \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5 } } )$$

הערך

$$\frac{15\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}\approx 3.780128774$$

שלבי פתרון קצר

הפוך את המכנה של ‎\frac{1}{\sqrt{3}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}}}$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{1}{\sqrt{5}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎\sqrt{5}.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{5} הוא ‎5.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{5}}$$

כדי לחבר או להחסיר ביטויים, הרחב אותם כדי ליצור עבורם מכנה זהה. המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎3 ו- ‎5 היא 15. הכפל את ‎\frac{\sqrt{3}}{3} ב- ‎\frac{5}{5}. הכפל את ‎\frac{\sqrt{5}}{5} ב- ‎\frac{3}{3}.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{5\sqrt{3}}{15}+\frac{3\sqrt{5}}{15}}$$

מכיוון ש- \frac{5\sqrt{3}}{15} ו- \frac{3\sqrt{5}}{15} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{15}}$$

חלק את ‎\sqrt{15} ב- ‎\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{15} על-ידי הכפלת ‎\sqrt{15} בהופכי של ‎\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{15}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}$$

הפוך את המכנה של ‎\frac{\sqrt{15}\times 15}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}} לרציונלי על-ידי הכפלת המונה והמכנה ב- ‎5\sqrt{3}-3\sqrt{5}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}$$

שקול את \left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right). ניתן להמיר כפל להפרשי הריבועים באמצעות הכלל: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

פיתוח ‎\left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

חשב את 5 בחזקת 2 וקבל 25.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{25\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{3} הוא ‎3.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{25\times 3-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

הכפל את ‎25 ו- ‎3 כדי לקבל ‎75.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

פיתוח ‎\left(3\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

חשב את 3 בחזקת 2 וקבל 9.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-9\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

הריבוע של ‎\sqrt{5} הוא ‎5.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-9\times 5}$$

הכפל את ‎9 ו- ‎5 כדי לקבל ‎45.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-45}$$

החסר את 45 מ- 75 כדי לקבל 30.

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{30}$$

חלק את ‎\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right) ב- ‎30 כדי לקבל ‎\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right).

$$\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \sqrt{15}\times \frac{1}{2} ב- 5\sqrt{3}-3\sqrt{5}.

$$\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\times 5\sqrt{3}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

פרק את 15=3\times 5 לגורמים. שכתב את השורש הריבועי של \sqrt{3\times 5} המוצר בתור המכפלה של \sqrt{3}\sqrt{5} ריבועיים הריבועי.

$$\sqrt{3}\sqrt{5}\times \frac{1}{2}\times 5\sqrt{3}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

הכפל את ‎\sqrt{3} ו- ‎\sqrt{3} כדי לקבל ‎3.

$$3\times \frac{1}{2}\times 5\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

הכפל את ‎3 ו- ‎\frac{1}{2} כדי לקבל ‎\frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}\times 5\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

בטא את ‎\frac{3}{2}\times 5 כשבר אחד.

$$\frac{3\times 5}{2}\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

הכפל את ‎3 ו- ‎5 כדי לקבל ‎15.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

פרק את 15=5\times 3 לגורמים. שכתב את השורש הריבועי של \sqrt{5\times 3} המוצר בתור המכפלה של \sqrt{5}\sqrt{3} ריבועיים הריבועי.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\sqrt{5}\sqrt{3}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

הכפל את ‎\sqrt{5} ו- ‎\sqrt{5} כדי לקבל ‎5.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+5\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{3}$$

הכפל את ‎5 ו- ‎\frac{1}{2} כדי לקבל ‎\frac{5}{2}.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\frac{5}{2}\left(-3\right)\sqrt{3}$$

בטא את ‎\frac{5}{2}\left(-3\right) כשבר אחד.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\frac{5\left(-3\right)}{2}\sqrt{3}$$

הכפל את ‎5 ו- ‎-3 כדי לקבל ‎-15.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\frac{-15}{2}\sqrt{3}$$

ניתן לכתוב את השבר ‎\frac{-15}{2} כ- ‎-\frac{15}{2} על-ידי חילוץ הסימן השלילי.

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}-\frac{15}{2}\sqrt{3}$$