פתור את sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

פתור עבור x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎2 ו- ‎4 היא 4. המר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎\frac{1}{4} לשברים עם מכנה ‎4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

מכיוון ש- \frac{2}{4} ו- \frac{1}{4} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎4 ו- ‎8 היא 8. המר את ‎\frac{3}{4} ו- ‎\frac{1}{8} לשברים עם מכנה ‎8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

מכיוון ש- \frac{6}{8} ו- \frac{1}{8} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

חבר את ‎6 ו- ‎1 כדי לקבל ‎7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ‎8 ו- ‎16 היא 16. המר את ‎\frac{7}{8} ו- ‎\frac{1}{16} לשברים עם מכנה ‎16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

מכיוון ש- \frac{14}{16} ו- \frac{1}{16} כוללים מכנה זהה, חבר אותם על-ידי חיבור המונים שלהם.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

חבר את ‎14 ו- ‎1 כדי לקבל ‎15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

חשב את \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} בחזקת 2 וקבל \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- \frac{1}{2} במקום b, וב- \frac{15}{16} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{15}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

חלק את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2 מ- ‎-\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

חלק את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎-2.

$$x=\frac{5}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{4} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

פשט. הערך x=-\frac{3}{4} אינו עומד במשוואה מכיוון שצדו השמאלי והאגף השמאלי מנוגדים.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{4} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

פשט. הערך x=\frac{5}{4} פותר את המשוואה.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

למשוואה \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x יש פתרון יחיד.

$$x=\frac{5}{4}$$