פתור את sqrt{x-1}=x

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0.5+0.866025404i$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

חשב את \sqrt{x-1} בחזקת 2 וקבל x-1.

$$x-1=x^{2}$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x-1-x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

חלק את ‎-1+i\sqrt{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{3} מ- ‎-1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

חלק את ‎-1-i\sqrt{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

פשט. הערך x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} אינו עומד במשוואה.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1+\sqrt{3}i}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

פשט. הערך x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} פותר את המשוואה.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

למשוואה \sqrt{x-1}=x יש פתרון יחיד.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$