פתור את sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x^{2}-1} בחזקת 2 וקבל x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2x+1} בחזקת 2 וקבל 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$x^{2}-1-2x=1$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

החסר את 1 מ- -1 כדי לקבל -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-2x-2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- -2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

חלק את ‎2+2\sqrt{3} ב- ‎2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{3} מ- ‎2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

חלק את ‎2-2\sqrt{3} ב- ‎2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

השתמש ב- ‎\sqrt{3}+1 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

פשט. הערך x=\sqrt{3}+1 פותר את המשוואה.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

השתמש ב- ‎1-\sqrt{3} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

פשט. הערך x=1-\sqrt{3} פותר את המשוואה.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

פרט את כל הפתרונות של \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

פתור עבור x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x^{2}-1} בחזקת 2 וקבל x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2x+1} בחזקת 2 וקבל 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$x^{2}-1-2x=1$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

החסר את 1 מ- -1 כדי לקבל -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-2x-2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- -2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

חלק את ‎2+2\sqrt{3} ב- ‎2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{3} מ- ‎2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

חלק את ‎2-2\sqrt{3} ב- ‎2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

השתמש ב- ‎\sqrt{3}+1 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

פשט. הערך x=\sqrt{3}+1 פותר את המשוואה.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

השתמש ב- ‎1-\sqrt{3} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. הביטוי \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} אינו מוגדר מאחר שradicand לא יכול להיות בלילי.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

למשוואה \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} יש פתרון יחיד.

$$x=\sqrt{3}+1$$