פתור את sqrt{x+2}=x+1

$$\sqrt { x + 2 } = x + 1$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618033989$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(x+1\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x+2} בחזקת 2 וקבל x+2.

$$x+2=\left(x+1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$x+2=x^{2}+2x+1$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$x+2-x^{2}=2x+1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$x+2-x^{2}-2x=1$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2-x^{2}=1$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$-x+2-x^{2}-1=0$$

החסר את 1 מ- 2 כדי לקבל 1.

$$-x+1-x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}-x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎\sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{-2}$$

חלק את ‎1+\sqrt{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{5} מ- ‎1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{-2}$$

חלק את ‎1-\sqrt{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-\sqrt{5}-1}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1$$

פשט. הערך x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} אינו עומד במשוואה מכיוון שצדו השמאלי והאגף השמאלי מנוגדים.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{5}-1}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$$

פשט. הערך x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} פותר את המשוואה.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

למשוואה \sqrt{x+2}=x+1 יש פתרון יחיד.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$