פתור את sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

פתור עבור x

$$x=2$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{5x-1} בחזקת 2 וקבל 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{3x-2} בחזקת 2 וקבל 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

כנס את ‎5x ו- ‎3x כדי לקבל ‎8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

החסר את 2 מ- -1 כדי לקבל -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x-1} בחזקת 2 וקבל x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

החסר ‎8x-3 משני אגפי המשוואה.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎8x-3, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

כנס את ‎x ו- ‎-8x כדי לקבל ‎-7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

חבר את ‎-1 ו- ‎3 כדי לקבל ‎2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

חשב את -2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{5x-1} בחזקת 2 וקבל 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{3x-2} בחזקת 2 וקבל 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

החל את חוק הפילוג על-ידי הכפלת כל איבר של 20x-4 בכל איבר של 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

כנס את ‎-40x ו- ‎-12x כדי לקבל ‎-52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

החסר ‎49x^{2} משני האגפים.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

כנס את ‎60x^{2} ו- ‎-49x^{2} כדי לקבל ‎11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

הוסף ‎28x משני הצדדים.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

כנס את ‎-52x ו- ‎28x כדי לקבל ‎-24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

החסר ‎4 משני האגפים.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

החסר את 4 מ- 8 כדי לקבל 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 11x^{2}+ax+bx+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -24.

$$a=-22 b=-2$$

שכתב את ‎11x^{2}-24x+4 כ- ‎\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 11x בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-2=0 ו- 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{11} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. הביטוי \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} אינו מוגדר מאחר שradicand לא יכול להיות בלילי.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

השתמש ב- ‎2 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

פשט. הערך x=2 פותר את המשוואה.

$$1=1$$

למשוואה \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} יש פתרון יחיד.

$$x=2$$