פתור את sqrt{5x-1}-sqrt{3-x}=sqrt{2x}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 - x } = \sqrt { 2 x }$$

פתור עבור x

$$x=2$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}+\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{5x-1} בחזקת 2 וקבל 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}+\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{3-x} בחזקת 2 וקבל 3-x.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}+3-x=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

חבר את ‎-1 ו- ‎3 כדי לקבל ‎2.

$$5x+2-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}-x=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

כנס את ‎5x ו- ‎-x כדי לקבל ‎4x.

$$4x+2-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=\left(\sqrt{2x}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2x} בחזקת 2 וקבל 2x.

$$4x+2-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=2x$$

החסר ‎4x+2 משני אגפי המשוואה.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=2x-\left(4x+2\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎4x+2, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=2x-4x-2$$

כנס את ‎2x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}=-2x-2$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3-x}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

חשב את -2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{5x-1} בחזקת 2 וקבל 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{3-x} בחזקת 2 וקבל 3-x.

$$4\left(5x-1\right)\left(3-x\right)=\left(-2x-2\right)^{2}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3-x\right)=\left(-2x-2\right)^{2}$$

החל את חוק הפילוג על-ידי הכפלת כל איבר של 20x-4 בכל איבר של 3-x.

$$60x-20x^{2}-12+4x=\left(-2x-2\right)^{2}$$

כנס את ‎60x ו- ‎4x כדי לקבל ‎64x.

$$64x-20x^{2}-12=\left(-2x-2\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(-2x-2\right)^{2}.

$$64x-20x^{2}-12=4x^{2}+8x+4$$

החסר ‎4x^{2} משני האגפים.

$$64x-20x^{2}-12-4x^{2}=8x+4$$

כנס את ‎-20x^{2} ו- ‎-4x^{2} כדי לקבל ‎-24x^{2}.

$$64x-24x^{2}-12=8x+4$$

החסר ‎8x משני האגפים.

$$64x-24x^{2}-12-8x=4$$

כנס את ‎64x ו- ‎-8x כדי לקבל ‎56x.

$$56x-24x^{2}-12=4$$

החסר ‎4 משני האגפים.

$$56x-24x^{2}-12-4=0$$

החסר את 4 מ- -12 כדי לקבל -16.

$$56x-24x^{2}-16=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$7x-3x^{2}-2=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-3x^{2}+7x-2=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -3x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=-3\left(-2\right)=6$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 6.

$$1,6 2,3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+6=7 2+3=5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=6 b=1$$

שכתב את ‎-3x^{2}+7x-2 כ- ‎\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$3x\left(-x+2\right)-\left(-x+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף -x+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את -x+2=0 ו- 3x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎2 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}=\sqrt{2x}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3-2}=\sqrt{2\times 2}$$

פשט. הערך x=2 פותר את המשוואה.

$$2=2$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}=\sqrt{2x}.

$$\sqrt{5\times \frac{1}{3}-1}-\sqrt{3-\frac{1}{3}}=\sqrt{2\times \frac{1}{3}}$$

פשט. הערך x=\frac{1}{3} אינו עומד במשוואה מכיוון שצדו השמאלי והאגף השמאלי מנוגדים.

$$-\frac{1}{3}\times 6^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\times 6^{\frac{1}{2}}$$

השתמש ב- ‎2 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}=\sqrt{2x}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3-2}=\sqrt{2\times 2}$$

פשט. הערך x=2 פותר את המשוואה.

$$2=2$$

למשוואה \sqrt{5x-1}-\sqrt{3-x}=\sqrt{2x} יש פתרון יחיד.

$$x=2$$