פתור את sqrt{4x-6}=sqrt{4x+5}-sqrt{x-1}

$$\sqrt { 4 x - 6 } = \sqrt { 4 x + 5 } - \sqrt { x - 1 }$$

פתור עבור x

$$x = \frac{2 {(\sqrt{466} + 4)}}{15} \approx 3.411604419$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{4x-6}\right)^{2}=\left(\sqrt{4x+5}-\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{4x-6} בחזקת 2 וקבל 4x-6.

$$4x-6=\left(\sqrt{4x+5}-\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\sqrt{4x+5}-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x-6=\left(\sqrt{4x+5}\right)^{2}-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{4x+5} בחזקת 2 וקבל 4x+5.

$$4x-6=4x+5-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x-1} בחזקת 2 וקבל x-1.

$$4x-6=4x+5-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}+x-1$$

כנס את ‎4x ו- ‎x כדי לקבל ‎5x.

$$4x-6=5x+5-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}-1$$

החסר את 1 מ- 5 כדי לקבל 4.

$$4x-6=5x+4-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}$$

החסר ‎5x+4 משני אגפי המשוואה.

$$4x-6-\left(5x+4\right)=-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎5x+4, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$4x-6-5x-4=-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}$$

כנס את ‎4x ו- ‎-5x כדי לקבל ‎-x.

$$-x-6-4=-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}$$

החסר את 4 מ- -6 כדי לקבל -10.

$$-x-10=-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(-x-10\right)^{2}=\left(-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(-x-10\right)^{2}.

$$x^{2}+20x+100=\left(-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(-2\sqrt{4x+5}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+20x+100=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{4x+5}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

חשב את -2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$x^{2}+20x+100=4\left(\sqrt{4x+5}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{4x+5} בחזקת 2 וקבל 4x+5.

$$x^{2}+20x+100=4\left(4x+5\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x-1} בחזקת 2 וקבל x-1.

$$x^{2}+20x+100=4\left(4x+5\right)\left(x-1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 4x+5.

$$x^{2}+20x+100=\left(16x+20\right)\left(x-1\right)$$

החל את חוק הפילוג על-ידי הכפלת כל איבר של 16x+20 בכל איבר של x-1.

$$x^{2}+20x+100=16x^{2}-16x+20x-20$$

כנס את ‎-16x ו- ‎20x כדי לקבל ‎4x.

$$x^{2}+20x+100=16x^{2}+4x-20$$

החסר ‎16x^{2} משני האגפים.

$$x^{2}+20x+100-16x^{2}=4x-20$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-16x^{2} כדי לקבל ‎-15x^{2}.

$$-15x^{2}+20x+100=4x-20$$

החסר ‎4x משני האגפים.

$$-15x^{2}+20x+100-4x=-20$$

כנס את ‎20x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎16x.

$$-15x^{2}+16x+100=-20$$

הוסף ‎20 משני הצדדים.

$$-15x^{2}+16x+100+20=0$$

חבר את ‎100 ו- ‎20 כדי לקבל ‎120.

$$-15x^{2}+16x+120=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -15 במקום a, ב- 16 במקום b, וב- 120 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-15\right)\times 120}}{2\left(-15\right)}$$

‎16 בריבוע.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-15\right)\times 120}}{2\left(-15\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+60\times 120}}{2\left(-15\right)}$$

הכפל את ‎60 ב- ‎120.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+7200}}{2\left(-15\right)}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎7200.

$$x=\frac{-16±\sqrt{7456}}{2\left(-15\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 7456.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{466}}{2\left(-15\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{466}}{-30}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±4\sqrt{466}}{-30} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎4\sqrt{466}.

$$x=\frac{4\sqrt{466}-16}{-30}$$

חלק את ‎-16+4\sqrt{466} ב- ‎-30.

$$x=\frac{8-2\sqrt{466}}{15}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±4\sqrt{466}}{-30} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{466} מ- ‎-16.

$$x=\frac{-4\sqrt{466}-16}{-30}$$

חלק את ‎-16-4\sqrt{466} ב- ‎-30.

$$x=\frac{2\sqrt{466}+8}{15}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{8-2\sqrt{466}}{15} x=\frac{2\sqrt{466}+8}{15}$$

השתמש ב- ‎\frac{8-2\sqrt{466}}{15} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{4x-6}=\sqrt{4x+5}-\sqrt{x-1}. הביטוי \sqrt{4\times \frac{8-2\sqrt{466}}{15}-6} אינו מוגדר מאחר שradicand לא יכול להיות בלילי.

$$\sqrt{4\times \frac{8-2\sqrt{466}}{15}-6}=\sqrt{4\times \frac{8-2\sqrt{466}}{15}+5}-\sqrt{\frac{8-2\sqrt{466}}{15}-1}$$

השתמש ב- ‎\frac{2\sqrt{466}+8}{15} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{4x-6}=\sqrt{4x+5}-\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{4\times \frac{2\sqrt{466}+8}{15}-6}=\sqrt{4\times \frac{2\sqrt{466}+8}{15}+5}-\sqrt{\frac{2\sqrt{466}+8}{15}-1}$$

פשט. הערך x=\frac{2\sqrt{466}+8}{15} פותר את המשוואה.

$$\left(\frac{8}{15}\times 466^{\frac{1}{2}}-\frac{58}{15}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{8}{15}\times 466^{\frac{1}{2}}+\frac{107}{15}\right)^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{2}{15}\times 466^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{15}\right)^{\frac{1}{2}}$$

למשוואה \sqrt{4x-6}=\sqrt{4x+5}-\sqrt{x-1} יש פתרון יחיד.

$$x=\frac{2\sqrt{466}+8}{15}$$