פתור את sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

שלבי פתרון

החסר ‎-\sqrt{15+x^{2}} משני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{25-x^{2}} בחזקת 2 וקבל 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{15+x^{2}} בחזקת 2 וקבל 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

חבר את ‎16 ו- ‎15 כדי לקבל ‎31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

החסר ‎31+x^{2} משני אגפי המשוואה.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎31+x^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

החסר את 31 מ- 25 כדי לקבל -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

כנס את ‎-x^{2} ו- ‎-x^{2} כדי לקבל ‎-2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

חשב את 8 בחזקת 2 וקבל 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{15+x^{2}} בחזקת 2 וקבל 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 64 ב- 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

החסר ‎960 משני האגפים.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

החסר את 960 מ- 36 כדי לקבל -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

החסר ‎64x^{2} משני האגפים.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

כנס את ‎24x^{2} ו- ‎-64x^{2} כדי לקבל ‎-40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

השתמש ב- ‎t במקום ‎x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎4 ב- a, את ‎-40 ב- b ואת ‎-924 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

בצע את החישובים.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

פתור את המשוואה ‎t=\frac{40±128}{8} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$t=21 t=-11$$

מאחר ש- x=t^{2}, הפתרונות מתקבלים על-ידי הערכת x=±\sqrt{t}‎ עבור כל t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

השתמש ב- ‎-\sqrt{21} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

פשט. הערך x=-\sqrt{21} אינו עומד במשוואה מכיוון שצדו השמאלי והאגף השמאלי מנוגדים.

$$-4=4$$

השתמש ב- ‎\sqrt{21} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

פשט. הערך x=\sqrt{21} אינו עומד במשוואה מכיוון שצדו השמאלי והאגף השמאלי מנוגדים.

$$-4=4$$

השתמש ב- ‎-\sqrt{11}i במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

פשט. הערך x=-\sqrt{11}i פותר את המשוואה.

$$4=4$$

השתמש ב- ‎\sqrt{11}i במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

פשט. הערך x=\sqrt{11}i פותר את המשוואה.

$$4=4$$

פרט את כל הפתרונות של \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$