פתור את sqrt{2x-1}-sqrt{x-1}=sqrt{6-x}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 6 - x }$$

פתור עבור x

$$x=5$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2x-1} בחזקת 2 וקבל 2x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x-1} בחזקת 2 וקבל x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

כנס את ‎2x ו- ‎x כדי לקבל ‎3x.

$$3x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

החסר את 1 מ- -1 כדי לקבל -2.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{6-x} בחזקת 2 וקבל 6-x.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x$$

החסר ‎3x-2 משני אגפי המשוואה.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-\left(3x-2\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎3x-2, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-3x+2$$

כנס את ‎-x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-4x.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-4x+2$$

חבר את ‎6 ו- ‎2 כדי לקבל ‎8.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=8-4x$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

חשב את -2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2x-1} בחזקת 2 וקבל 2x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x-1} בחזקת 2 וקבל x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-1.

$$\left(8x-4\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

החל את חוק הפילוג על-ידי הכפלת כל איבר של 8x-4 בכל איבר של x-1.

$$8x^{2}-8x-4x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

כנס את ‎-8x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-12x.

$$8x^{2}-12x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(8-4x\right)^{2}.

$$8x^{2}-12x+4=64-64x+16x^{2}$$

החסר ‎64 משני האגפים.

$$8x^{2}-12x+4-64=-64x+16x^{2}$$

החסר את 64 מ- 4 כדי לקבל -60.

$$8x^{2}-12x-60=-64x+16x^{2}$$

הוסף ‎64x משני הצדדים.

$$8x^{2}-12x-60+64x=16x^{2}$$

כנס את ‎-12x ו- ‎64x כדי לקבל ‎52x.

$$8x^{2}+52x-60=16x^{2}$$

החסר ‎16x^{2} משני האגפים.

$$8x^{2}+52x-60-16x^{2}=0$$

כנס את ‎8x^{2} ו- ‎-16x^{2} כדי לקבל ‎-8x^{2}.

$$-8x^{2}+52x-60=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -2x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 13.

$$a=10 b=3$$

שכתב את ‎-2x^{2}+13x-15 כ- ‎\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף -x+5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את -x+5=0 ו- 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎5 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

פשט. הערך x=5 פותר את המשוואה.

$$1=1$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times \frac{3}{2}-1}-\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\sqrt{6-\frac{3}{2}}$$

פשט. הערך x=\frac{3}{2} אינו עומד במשוואה.

$$\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}$$

השתמש ב- ‎5 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

פשט. הערך x=5 פותר את המשוואה.

$$1=1$$

למשוואה \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} יש פתרון יחיד.

$$x=5$$