פתור את sqrt{2x+3}+sqrt{x-2}=4

$$\sqrt { 2 x + 3 } + \sqrt { x - 2 } = 4$$

פתור עבור x

$$x=3$$

שלבי פתרון

החסר ‎\sqrt{x-2} משני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{2x+3}=4-\sqrt{x-2}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}=\left(4-\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2x+3} בחזקת 2 וקבל 2x+3.

$$2x+3=\left(4-\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(4-\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$2x+3=16-8\sqrt{x-2}+\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x-2} בחזקת 2 וקבל x-2.

$$2x+3=16-8\sqrt{x-2}+x-2$$

החסר את 2 מ- 16 כדי לקבל 14.

$$2x+3=14-8\sqrt{x-2}+x$$

החסר ‎14+x משני אגפי המשוואה.

$$2x+3-\left(14+x\right)=-8\sqrt{x-2}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎14+x, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2x+3-14-x=-8\sqrt{x-2}$$

החסר את 14 מ- 3 כדי לקבל -11.

$$2x-11-x=-8\sqrt{x-2}$$

כנס את ‎2x ו- ‎-x כדי לקבל ‎x.

$$x-11=-8\sqrt{x-2}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(x-11\right)^{2}=\left(-8\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-11\right)^{2}.

$$x^{2}-22x+121=\left(-8\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(-8\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}-22x+121=\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

חשב את -8 בחזקת 2 וקבל 64.

$$x^{2}-22x+121=64\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x-2} בחזקת 2 וקבל x-2.

$$x^{2}-22x+121=64\left(x-2\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 64 ב- x-2.

$$x^{2}-22x+121=64x-128$$

החסר ‎64x משני האגפים.

$$x^{2}-22x+121-64x=-128$$

כנס את ‎-22x ו- ‎-64x כדי לקבל ‎-86x.

$$x^{2}-86x+121=-128$$

הוסף ‎128 משני הצדדים.

$$x^{2}-86x+121+128=0$$

חבר את ‎121 ו- ‎128 כדי לקבל ‎249.

$$x^{2}-86x+249=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-86x+249 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-86 ab=249$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 249.

$$-1,-249 -3,-83$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-249=-250 -3-83=-86$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -86.

$$a=-83 b=-3$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-83\right)\left(x-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-83=0 ו- x-3=0.

$$x=83 x=3$$

השתמש ב- ‎83 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}=4.

$$\sqrt{2\times 83+3}+\sqrt{83-2}=4$$

פשט. הערך x=83 אינו עומד במשוואה.

$$22=4$$

השתמש ב- ‎3 במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}=4.

$$\sqrt{2\times 3+3}+\sqrt{3-2}=4$$

פשט. הערך x=3 פותר את המשוואה.

$$4=4$$

למשוואה \sqrt{2x+3}=-\sqrt{x-2}+4 יש פתרון יחיד.

$$x=3$$