פתור את sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{2-x} בחזקת 2 וקבל 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

החסר ‎x^{2} משני האגפים.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

כנס את ‎-x ו- ‎2x כדי לקבל ‎x.

$$2+x-x^{2}=1$$

החסר ‎1 משני האגפים.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

החסר את 1 מ- 2 כדי לקבל 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎\sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

חלק את ‎-1+\sqrt{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{5} מ- ‎-1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

חלק את ‎-1-\sqrt{5} ב- ‎-2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1-\sqrt{5}}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

פשט. הערך x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} אינו עומד במשוואה מכיוון שצדו השמאלי והאגף השמאלי מנוגדים.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

השתמש ב- ‎\frac{\sqrt{5}+1}{2} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

פשט. הערך x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} פותר את המשוואה.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

למשוואה \sqrt{2-x}=x-1 יש פתרון יחיד.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$