פתור את sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

פתור עבור x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

שלבי פתרון

החסר ‎-\sqrt{19-x^{2}} משני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{15+x^{2}} בחזקת 2 וקבל 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{19-x^{2}} בחזקת 2 וקבל 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

חבר את ‎4 ו- ‎19 כדי לקבל ‎23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

החסר ‎23-x^{2} משני אגפי המשוואה.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎23-x^{2}, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

החסר את 23 מ- 15 כדי לקבל -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

חשב את 4 בחזקת 2 וקבל 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{19-x^{2}} בחזקת 2 וקבל 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 16 ב- 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

החסר ‎304 משני האגפים.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

החסר את 304 מ- 64 כדי לקבל -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

הוסף ‎16x^{2} משני הצדדים.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

כנס את ‎-32x^{2} ו- ‎16x^{2} כדי לקבל ‎-16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

השתמש ב- ‎t במקום ‎x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎4 ב- a, את ‎-16 ב- b ואת ‎-240 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

בצע את החישובים.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

פתור את המשוואה ‎t=\frac{16±64}{8} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$t=10 t=-6$$

מאחר ש- x=t^{2}, הפתרונות מתקבלים על-ידי הערכת x=±\sqrt{t}‎ עבור t חיובי.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

השתמש ב- ‎\sqrt{10} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

פשט. הערך x=\sqrt{10} פותר את המשוואה.

$$2=2$$

השתמש ב- ‎-\sqrt{10} במקום ‎x במשוואה ‎\sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

פשט. הערך x=-\sqrt{10} פותר את המשוואה.

$$2=2$$

פרט את כל הפתרונות של \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$