פתור את {l}{90=a+b*5}{a+b=49}

$$\left.\begin{array} { l } { 90 = a + b \cdot 5 } \\ { a + b = 49 } \end{array} \right\}$$

פתור עבור a, b

$$a = \frac{155}{4} = 38\frac{3}{4} = 38.75$$

$$b = \frac{41}{4} = 10\frac{1}{4} = 10.25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a+b\times 5=90$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$a+5b=90,a+b=49$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$a+5b=90$$

החסר ‎5b משני אגפי המשוואה.

$$a=-5b+90$$

השתמש ב- ‎-5b+90 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a+b=49.

$$-5b+90+b=49$$

הוסף את ‎-5b ל- ‎b.

$$-4b+90=49$$

החסר ‎90 משני אגפי המשוואה.

$$-4b=-41$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$b=\frac{41}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{4} במקום b ב- ‎a=-5b+90. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-5\times \frac{41}{4}+90$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{41}{4}.

$$a=-\frac{205}{4}+90$$

הוסף את ‎90 ל- ‎-\frac{205}{4}.

$$a=\frac{155}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{155}{4},b=\frac{41}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a+b\times 5=90$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$a+5b=90,a+b=49$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\49\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\49\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\49\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\49\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-5}&-\frac{5}{1-5}\\-\frac{1}{1-5}&\frac{1}{1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\49\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\49\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 90+\frac{5}{4}\times 49\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\times 49\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{4}\\\frac{41}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{155}{4},b=\frac{41}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$a+b\times 5=90$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$a+5b=90,a+b=49$$

החסר את ‎a+b=49 מ- ‎a+5b=90 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$a-a+5b-b=90-49$$

הוסף את ‎a ל- ‎-a. האיברים ‎a ו- ‎-a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5b-b=90-49$$

הוסף את ‎5b ל- ‎-b.

$$4b=90-49$$

הוסף את ‎90 ל- ‎-49.

$$4b=41$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$b=\frac{41}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{4} במקום b ב- ‎a+b=49. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a+\frac{41}{4}=49$$

החסר ‎\frac{41}{4} משני אגפי המשוואה.

$$a=\frac{155}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{155}{4},b=\frac{41}{4}$$