פתור את {l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

כנס את ‎4x ו- ‎-x כדי לקבל ‎3x.

$$3x+8y=-y$$

הוסף ‎y משני הצדדים.

$$3x+8y+y=0$$

כנס את ‎8y ו- ‎y כדי לקבל ‎9y.

$$3x+9y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$-3x-2y=-4-x$$

הוסף ‎x משני הצדדים.

$$-3x-2y+x=-4$$

כנס את ‎-3x ו- ‎x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-2y=-4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+9y=0$$

החסר ‎9y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-9y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-9y.

$$x=-3y$$

השתמש ב- ‎-3y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x-2y=-4.

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-3y.

$$6y-2y=-4$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-2y.

$$4y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=-3y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\left(-1\right)$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-1.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

כנס את ‎4x ו- ‎-x כדי לקבל ‎3x.

$$3x+8y=-y$$

הוסף ‎y משני הצדדים.

$$3x+8y+y=0$$

כנס את ‎8y ו- ‎y כדי לקבל ‎9y.

$$3x+9y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$-3x-2y=-4-x$$

הוסף ‎x משני הצדדים.

$$-3x-2y+x=-4$$

כנס את ‎-3x ו- ‎x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-2y=-4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

כנס את ‎4x ו- ‎-x כדי לקבל ‎3x.

$$3x+8y=-y$$

הוסף ‎y משני הצדדים.

$$3x+8y+y=0$$

כנס את ‎8y ו- ‎y כדי לקבל ‎9y.

$$3x+9y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$-3x-2y=-4-x$$

הוסף ‎x משני הצדדים.

$$-3x-2y+x=-4$$

כנס את ‎-3x ו- ‎x כדי לקבל ‎-2x.

$$-2x-2y=-4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

פשט.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

החסר את ‎-6x-6y=-12 מ- ‎-6x-18y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎6x. האיברים ‎-6x ו- ‎6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-18y+6y=12$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎6y.

$$-12y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎-2x-2y=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-1.

$$-2x+2=-4$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-1$$