פתור את {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

פתור עבור y, x

$$x=2$$

$$y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎5.

$$27+4y=-4x+3$$

הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$27+4y+4x=3$$

החסר ‎27 משני האגפים.

$$4y+4x=3-27$$

החסר את 27 מ- 3 כדי לקבל -24.

$$4y+4x=-24$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$8x+3y=-8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4y+4x=-24$$

החסר ‎4x משני אגפי המשוואה.

$$4y=-4x-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-4x-24.

$$y=-x-6$$

השתמש ב- ‎-x-6 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎3y+8x=-8.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-x-6.

$$-3x-18+8x=-8$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎8x.

$$5x-18=-8$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎y=-x-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-2-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎-2.

$$y=-8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-8,x=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎5.

$$27+4y=-4x+3$$

הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$27+4y+4x=3$$

החסר ‎27 משני האגפים.

$$4y+4x=3-27$$

החסר את 27 מ- 3 כדי לקבל -24.

$$4y+4x=-24$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$8x+3y=-8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-8,x=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎5.

$$27+4y=-4x+3$$

הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$27+4y+4x=3$$

החסר ‎27 משני האגפים.

$$4y+4x=3-27$$

החסר את 27 מ- 3 כדי לקבל -24.

$$4y+4x=-24$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$8x+3y=-8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

כדי להפוך את ‎4y ו- ‎3y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

פשט.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

החסר את ‎12y+32x=-32 מ- ‎12y+12x=-72 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-12y. האיברים ‎12y ו- ‎-12y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12x-32x=-72+32$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-32x.

$$-20x=-72+32$$

הוסף את ‎-72 ל- ‎32.

$$-20x=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎3y+8x=-8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3y+8\times 2=-8$$

הכפל את ‎8 ב- ‎2.

$$3y+16=-8$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$3y=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-8,x=2$$