פתור את {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎y משני הצדדים.

$$x+y=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=5$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+5$$

השתמש ב- ‎-y+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

הוסף את ‎-7y ל- ‎3y.

$$-4y+35=47$$

החסר ‎35 משני אגפי המשוואה.

$$-4y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-3.

$$x=3+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎3.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎y משני הצדדים.

$$x+y=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=8,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎y משני הצדדים.

$$x+y=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

פשט.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

החסר את ‎7x+3y=47 מ- ‎7x+7y=35 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-7x. האיברים ‎7x ו- ‎-7x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7y-3y=35-47$$

הוסף את ‎7y ל- ‎-3y.

$$4y=35-47$$

הוסף את ‎35 ל- ‎-47.

$$4y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎7x+3y=47. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-3.

$$7x-9=47$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$7x=56$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=-3$$